C++整数在二进制与十进制之间的转换详解（含补码与加法）

十进制与二进制的基本原理

十进制整数（如 5623）的含义可直观地表示为 (5 × 1000) + (6 × 100) + (2 × 10) + (3 × 1)。由于十进制共有 10 个数码，每向左一位，权值便乘以 10。

二进制数的原理完全相同，只因仅有 0 和 1 两个数码，故每向左一位，权值乘以 2。为方便阅读，常将二进制每 4 位分组书写（如 1101 0101），类似十进制中的千位分隔符。

下表列出 0–15 的十进制与二进制对应关系：

一、二进制转十进制

以下示例均假设为无符号整数。

以 8 位二进制 0101 1110 为例：

0101 1110 = (0×128) + (1×64) + (0×32) + (1×16) + (1×8) + (1×4) + (1×2) + (0×1)
求和得：64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 94。

表格化过程：

同理，1001 0111：

该方法可自然扩展至 16 位或 32 位，只需继续向左追加位权（×2 递增）。从右往左计算最为方便。

二、十进制转二进制

有三种常用方法。

方法 1：连续除 2 取余法

将十进制数不断除以 2，记录余数，最后自下而上读取余数即为二进制。

以 148 为例：

148 ÷ 2 = 74 余 0
74 ÷ 2 = 37 余 0
37 ÷ 2 = 18 余 1
18 ÷ 2 = 9  余 0
9  ÷ 2 = 4  余 1
4  ÷ 2 = 2  余 0
2  ÷ 2 = 1  余 0
1  ÷ 2 = 0  余 1

从下往上读：1001 0100，即 148 的二进制形式。

验证：

(1×128)+(0×64)+(0×32)+(1×16)+(0×8)+(1×4)+(0×2)+(0×1)=148。

此方法人工友好，但机器实现需额外缓存余数。

方法 2：递减位权法

从最高有效位权开始，依次判断是否需要该位。

仍以 148 为例，小于 148 的最大 2 的幂为 128：

148 ≥ 128 → 128 位为 1，剩余 20
20 < 64 → 64 位为 0
20 < 32 → 32 位为 0
20 ≥ 16 → 16 位为 1，剩余 4
4 < 8 → 8 位为 0
4 ≥ 4 → 4 位为 1，剩余 0
0 < 2 → 2 位为 0
0 < 1 → 1 位为 0

结果：1001 0100。

表格化：

方法 3：整除位权法（变体）

同样以 148 为例，对各位权整除后看奇偶：

148 / 128 = 1（奇）→ 128 位 1
148 / 64  = 2（偶）→ 64 位 0
148 / 32  = 4（偶）→ 32 位 0
148 / 16  = 9（奇）→ 16 位 1
148 / 8   = 18（偶）→ 8 位 0
148 / 4   = 37（奇）→ 4 位 1
148 / 2   = 74（偶）→ 2 位 0
148 / 1   = 148（偶）→ 1 位 0

同样得到 1001 0100。

人工计算量大，效率低，但代码实现无需条件分支。

再举一例：117

方法 1：

117 ÷ 2 = 58 余 1
58 ÷ 2 = 29 余 0
29 ÷ 2 = 14 余 1
14 ÷ 2 = 7  余 0
7 ÷ 2 = 3   余 1
3 ÷ 2 = 1   余 1
1 ÷ 2 = 0   余 1

自下而上：111 0101。

方法 2：

最大 2 的幂 ≤ 117 为 64 → 1，剩余 53
53 ≥ 32 → 1，剩余 21
21 ≥ 16 → 1，剩余 5
5 < 8 → 0
5 ≥ 4 → 1，剩余 1
1 < 2 → 0
1 ≥ 1 → 1

结果：111 0101。

三、二进制加法

在某些场景下需要手工或程序实现二进制加法。规则与十进制类似，但仅涉及 0 和 1。

示例：

0110 (6) + 0111 (7)

从右往左逐列相加：

0+1=1
1+1=0 并进位 1
1+1+进位 1=1 并进位 1
0+0+进位 1=1

结果为 1101 (13)。

若需对某二进制数加 1，只需设加数为 0000 0001，按同样规则即可。

四、有符号数与补码

前述示例均为无符号整数。本节讨论负数表示方法——补码（two’s complement）。

补码规则：

• 最高位为符号位：0 表示非负，1 表示负。
• 正数编码与无符号相同。
• 负数编码为对应正数的按位取反再加 1。

示例：-5 的 8 位补码

1. 5 → 0000 0101
2. 取反 → 1111 1010
3. 加 1 → 1111 1011

-76 的 8 位补码：

1. 76 → 0100 1100
2. 取反 → 1011 0011
3. 加 1 → 1011 0100

加 1 的原因：若仅取反而得“反码”，则 0 会出现 0000 0000 和 1111 1111 两种表示。补码通过加 1 使得 1111 1111 溢出为 0000 0000，从而唯一表示 0，并简化负数运算。

补码转十进制：

• 若符号位为 0，直接按无符号规则转换。
• 若符号位为 1：
  1. 取反
  2. 加 1
  3. 转为十进制后取负。

示例：1001 1110（补码）

取反 → 0110 0001
加 1 → 0110 0010 → 98
符号位为 1，故结果为 -98。

手工速算：最高位权为负，其余为正。

1001 1110 = (1×-128) + (0×64) + (0×32) + (1×16) + (1×8) + (1×4) + (1×2) + (0×1) = -128 + 16 + 8 + 4 + 2 = -98。

五、类型的重要性

同一二进制 1011 0100，若视为无符号则为 180；若视为补码有符号则为 -76。
C++ 通过变量类型决定编解码方式：

• 若为 unsigned，解码为 180；
• 若为 signed，解码为 -76（C++20 起补码已标准化）。

六、浮点数的二进制转换

浮点数的二进制表示规则更复杂，通常无需掌握。如需了解，可参考相关资料。

C++二进制与十进制转换测验

问题 1

将 0100 1101 转为十进制。

问题 2

用方法 1 与方法 2 将 93 转为 8 位无符号二进制。

问题 3

将 -93 转为 8 位补码有符号二进制。

问题 4

将 1010 0010 转为无符号十进制。

问题 5

将 1010 0010 转为补码有符号十进制。

问题 6

编写程序，要求用户输入 0–255 之间的整数，并以 #### #### 形式输出 8 位二进制。不得使用位运算符，不得使用 std::bitset。
提示：std::uint8_t 通常被视为字符而非整型，直接输入输出可能产生意外行为。